Programa para integrar

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La Calculadora Integral le permite calcular integrales y antiderivados de funciones en línea – ¡gratis! Nuestra calculadora le permite comprobar sus soluciones a los ejercicios de cálculo. Le ayuda a practicar mostrándole el funcionamiento completo (integración paso a paso). Se soportan todas las técnicas de integración comunes e incluso funciones especiales.

La Calculadora Integral soporta integrales definidas e indefinidas (antiderivados), así como la integración de funciones con muchas variables. ¡También puede comprobar sus respuestas! Las gráficas interactivas ayudan a visualizar y comprender mejor las funciones.

Y ahora: ¡Feliz integración!

Cómo funciona la calculadora integral programa para integrar

Para aquellos con formación técnica, la siguiente sección explica cómo funciona la Calculadora Integral. Primero, un analizador analiza la función matemática. Lo transforma en una forma que es más comprensible para un ordenador, a saber, un árbol (véase la figura siguiente).

Para ello, la Calculadora Integral debe respetar el orden de las operaciones. Una especialidad en expresiones matemáticas es que a veces se puede omitir el signo de multiplicación, por ejemplo, escribimos «5x» en lugar de «5*x». La Calculadora Integral tiene que detectar estos casos e insertar el signo de multiplicación.

El analizador está implementado en JavaScript, basado en el algoritmo Shunting-yard, y puede ejecutarse directamente en el navegador. Esto permite una rápida retroalimentación al escribir transformando el árbol en código LaTeX. MathJax se encarga de mostrarlo en el navegador.

Al hacer clic en el botón «Ir», la Calculadora Integral envía la función matemática y los ajustes (variables de integración y límites de integración) al servidor, donde se analizan de nuevo. Esta vez, la función se transforma en una forma que puede ser entendida por el sistema de álgebra informática Maxima.

Programa para integrar

Maxima se encarga de calcular la integral de la función matemática. La salida de Maxima se transforma de nuevo en LaTeX y se presenta al usuario. El antiderivado se calcula utilizando el algoritmo Risch, que es difícil de entender para los humanos. Es por eso que mostrar los pasos de cálculo es un gran reto para los integrales.

Para mostrar los pasos, la calculadora aplica las mismas técnicas de integración que un humano. El programa que hace esto ha sido desarrollado a lo largo de varios años y está escrito en el propio lenguaje de programación de Maxima. Consiste en más de 16000 líneas de código.

Cuando el integrando coincide con una forma conocida, aplica reglas fijas para resolver la integral (por ejemplo, descomposición de fracciones parciales para funciones racionales o sustitución trigonométrica de integrandos que involucran las raíces cuadradas de un polinomio cuadrático). De lo contrario, intenta diferentes sustituciones y transformaciones hasta que se resuelve la integral, se agota el tiempo o no queda nada por probar.

La calculadora carece de la intuición matemática que es muy útil para encontrar un antiderivado, pero por otro lado puede probar un gran número de posibilidades en un corto periodo de tiempo. Los antiderivados paso a paso son a menudo mucho más cortos y elegantes que los encontrados por Maxima.

La función «Comprobar respuesta» tiene que resolver la difícil tarea de determinar si dos expresiones matemáticas son equivalentes. Su diferencia se calcula y simplifica en la medida de lo posible utilizando Máximos. Por ejemplo, esto implica escribir funciones trigonométricas/hiperbólicas en sus formas exponenciales.

Si se puede demostrar que la diferencia se simplifica a cero, la tarea se resuelve. De lo contrario, se aplica un algoritmo probabilístico que evalúa y compara ambas funciones en lugares elegidos al azar. En el caso de los antiderivados, todo el procedimiento se repite con el derivado de cada función, ya que los antiderivados pueden diferir por una constante.

Los gráficos de funciones interactivas se calculan en el navegador y se muestran dentro de un elemento de lienzo (HTML5). Para cada función a graficar, la calculadora crea una función JavaScript, que luego se evalúa en pequeños pasos para dibujar el gráfico. Durante la representación gráfica, las singularidades (p. ej. polos) se detectan y se tratan de forma especial. El control de gestos se realiza con Hammer.js.